Higher algebraic K-theory by Quillen

全ての \(n\) に対し通用するalgebraic \(K\)-theory の定義を発見したのは Quillen である。Quillen の higher algebraic \(K\)-theory の構成には2通りの方法がある。

  • \(+\)-construction とそれによる higher algebraic \(K\)-theory の定義 [Qui71]
  • \(Q\)-construction とそれによる higher algebraic \(K\)-theory の定義 [Qui73]

\(+\)-construction は位相空間に対する構成, \(Q\)-constructionは exact category に対する構成である。

より正確には, 前者では, 環 \(R\) から群 \(\GL (R)\) を作り, その分類空間 \(BGL(R)\) の \(+\)-construction を用いて \[ K(R) = K_{0}(R) \times BGL(R)^{+} \] と定義する。後者は, 一般の exact category に対する構成であるが, 特に finitely generated projective \(R\)-module の成す exact category に適用すると, 前者と同じものが得られる。 このことの証明は, Grayson の [Gra76] にある。

Quillen の higher algebraic \(K\)-theory の構成については, Geometric Langlands seminar のページにある S. Bloch の講義 note に非常に簡潔にまとめられている。 それを読んでから原論文にあたるのがよいかもしれない。

上記の2つの構成の他にも, 例えば Wagoner によるもの [Wag73] もある。 これは general linear group の組み合せ論的な構造から simplicial complex を作り, そのホモトピー群として定義するものである。 Quillen の algebraic \(K\)-theory と一致することも, [AKW73; AKW77; Wag78] などで証明されている。

  • Wagoner complex

Wagoner complex は \(\GL (R)\) に対する構成であるが, その構成は, Essert [Ess] により Kac-Moody group に拡張されている。

他にも, Volodin [Vol71] の構成もある。例えば, Goodwillie の [Goo86] で使われている。 nLabのページ では, Volodin の論文の他に, Suslin と Wodzicki の [SW92] が参照されている。

Grayson [Gra12] は, exact category の \(K\)-theory を, 「生成元と関係式」により表示することに成功している。 その続編の [Gra]では, relative \(K\)-theory の表示を得ている。これまでは, Quillen流の exact category の \(K\)-theory を使うためには, かなり高度なホモトピー論の手法を勉強しなければならなかったが, この Grayson の表示を使えば, より初等的なことだけで Quillen の algebraic \(K\)-theory が使えるようになる, ということか。

  • Grayson の表示

位相空間の \(K\)-theory との比較では, Bott periodicity が成り立つかどうかというのは自然な疑問であるが, それについては, Berrick, Karoubi, Østvær の [BKØ11] の introduction を見るのがよい。

  • algebraic \(K\)-theory with finite coefficients の periodicity

Quillen [Qui73] が証明した algebraic \(K\)-theory の基本的な性質として, dévissage theorem と locailzation theorem がある。

  • dévissage theorem
  • localization theorem

その ring spectrum 版を Barwick と Lawson [BL] が考えている。

References

[AKW73]

D. Anderson, M. Karoubi, and J. Wagoner. “Relations between higher algebraic \(K\)-theories”. In: Algebraic K-theory, I: Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Berlin: Springer, 1973, 73–81. Lecture Notes in Math. Vol. 341.

[AKW77]

D. Anderson, M. Karoubi, and J. Wagoner. “Higher algebraic \(K\)-theories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 226 (1977), pp. 209–225.

[BKØ11]

A. J. Berrick, M. Karoubi, and P. A. Østvær. “Periodicity of Hermitian \(K\)-groups”. In: J. K-Theory 7.3 (2011), pp. 429–493. arXiv: 1101.2056. url: http://dx.doi.org/10.1017/is011004009jkt151.

[BL]

Clark Barwick and Tyler Lawson. Regularity of structured ring spectra and localization in \(K\)-theory. arXiv: 1402.6038.

[Ess]

Jan Essert. On Wagoner complexes. arXiv: 0903.1989.

[Goo86]

Thomas G. Goodwillie. “Relative algebraic \(K\)-theory and cyclic homology”. In: Ann. of Math. (2) 124.2 (1986), pp. 347–402. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971283.

[Gra]

Daniel R. Grayson. Relative algebraic K-theory by elementary means. arXiv: 1310.8644.

[Gra12]

Daniel R. Grayson. “Algebraic \(K\)-theory via binary complexes”. In: J. Amer. Math. Soc. 25.4 (2012), pp. 1149–1167. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2012-00743-7.

[Gra76]

Daniel Grayson. “Higher algebraic \(K\)-theory. II (after Daniel Quillen)”. In: Algebraic \(K\)-theory (Proc. Conf., Northwestern Univ., Evanston, Ill., 1976). Berlin: Springer, 1976, 217–240. Lecture Notes in Math., Vol. 551.

[Qui71]

Daniel Quillen. “Cohomology of groups”. In: Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2. Paris: Gauthier-Villars, 1971, pp. 47–51.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Berlin: Springer, 1973, 85–147. Lecture Notes in Math., Vol. 341.

[SW92]

Andrei A. Suslin and Mariusz Wodzicki. “Excision in algebraic \(K\)-theory”. In: Ann. of Math. (2) 136.1 (1992), pp. 51–122. url: https://doi.org/10.2307/2946546.

[Vol71]

I. A. Volodin. “Algebraic \(K\)-theory as an extraordinary homology theory on the category of associative rings with a unit”. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 35 (1971), pp. 844–873.

[Wag73]

J. Wagoner. “Buildings, stratifications, and higher \(K\)-theory”. In: Algebraic K-theory, I: Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Berlin: Springer, 1973, 148–165. Lecture Notes in Math., Vol. 341.

[Wag78]

J. B. Wagoner. “Equivalence of algebraic \(K\)-theories”. In: J. Pure Appl. Algebra 11.1–3 (1977/78), pp. 245–269.