Parallelizability of 3-manifolds

\(3\)次元多様体について, 古くから知られている性質として, その tangent bundle が自明である, つまり parallelizable というものがある。

Bias と Zuddas [BZ23] によると, Stiefel [Sti35] により最初に証明されたようである。この Bias と Zuddas では, 新たな証明が与えられているが, 他に次のような文献が紹介されている。

• J.H.C. Whitehead の [Whi61]
• Gonzalo の [Gon87]
• Kirby の本 [Kir89] の Chapter VII
• Geiges の本 [Gei08] の section 4.2
• Fomenko と Matveev の本 [FM97] の ection 9.4
• Benedetti と Lisca の [BL18]
• Durst, Geiges, Pérez, Kegel の [Dur+20]

References

[BL18]

Riccardo Benedetti and Paolo Lisca. “Framing 3-manifolds with bare hands”. In: Enseign. Math. 64.3-4 (2018), pp. 395–413. arXiv: 1806.04991. url: https://doi.org/10.4171/LEM/64-3/4-9.

[BZ23]

Valentina Bais and Daniele Zuddas. “On Stiefel’s parallelizability of 3-manifolds”. In: Expo. Math. 41.1 (2023), pp. 238–243. arXiv: 2207.12881. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2023.01.001.

[Dur+20]

Sebastian Durst, Hansjörg Geiges, Jesús Gonzalo Pérez, and Marc Kegel. “Parallelisability of 3-manifolds via surgery”. In: Expo. Math. 38.1 (2020), pp. 131–137. arXiv: 1808.05072. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2018.10.006.

[FM97]

A. T. Fomenko and S. V. Matveev. Algorithmic and computer methods for three-manifolds. Vol. 425. Mathematics and its Applications. Translated from the 1991 Russian original by M. Tsaplina and Michiel Hazewinkel and revised by the authors, With a preface by Hazewinkel. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997, pp. xii+334. isbn: 0-7923-4770-6. url: https://doi.org/10.1007/978-94-017-0699-5.

[Gei08]

Hansjörg Geiges. An introduction to contact topology. Vol. 109. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2008, pp. xvi+440. isbn: 978-0-521-86585-2. url: https://doi.org/10.1017/CBO9780511611438.

[Gon87]

Jesús Gonzalo. “Branched covers and contact structures”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 101.2 (1987), pp. 347–352. url: https://doi.org/10.2307/2046007.

[Kir89]

Robion C. Kirby. The topology of \(4\)-manifolds. Vol. 1374. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1989, pp. vi+108. isbn: 3-540-51148-2. url: https://doi.org/10.1007/BFb0089031.

[Sti35]

E. Stiefel. “Richtungsfelder und Fernparallelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten”. In: Comment. Math. Helv. 8.1 (1935), pp. 305–353. url: https://doi.org/10.1007/BF01199559.

[Whi61]

J. H. C. Whitehead. “The immersion of an open \(3\)-manifold in euclidean \(3\)-space”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 11 (1961), pp. 81–90. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-11.1.81.