Lax, Colax, and Unbiased Monoidal Categories

Monoidal category では2つの object \(a,b\) の tensor product \(a\otimes b\) が定義され, 結合法則と単位元に関する条件が coherence condition をみたす同型として要求されるが, 例えば, \((a_{1}\otimes a_{2})\otimes a_{3}\) を\(3\)個の object \(a_{1},a_{2},a_{3}\) の tensor を取る方法 \(t(a_{1},a_{2},a_{3})\)として指定し, 結合法則を \(t(a_{1},a_{2},a_{3})\) と \(t(a_{1},t(a_{2},a_{3}))\) との関係として考えることもできる。

このように考えると, 同型であるという条件も morphism \[ t(a_{1},t(a_{2},a_{3})) \rarrow {} t(a_{1},a_{2},a_{3}) \] あるいは \[ t(a_{1},a_{2},a_{3}) \rarrow {} t(a_{1},t(a_{2},a_{3})) \] が存在するという条件に弱められる。 より一般に各 \(n\) に対し \(n\)個の元を tensor する方法が指定されていて, それらの間に morphism があり, ある条件をみたすもの, という構造が考えられる。 前者は, まとめる方なので lax monoidal structure, 後者は分ける方なので colax あるいは oplax monoidal structure と呼ばれる。

• lax monoidal category
• colax monoidal category

Batanin と Weber の [BW11] には, lax monoidal category について, Day と Street の [DS03] と Batanin の [Bat08] が挙げられているが, Grandis [Gra] は, Leinster の本 [Lei04] を参照している。

Leinster は, lax monoidal category や colax monoidal category で structure morphism 達が同型であるものを unbiased monoidal category と呼んでいる。

• unbiased monoidal category

Batanin と Weber は, lax monoidal category で enrich された category を定義しているが, colax monoidal category で enrich された category は Basile と Lejay と Morand の [BLM] で定義されている。

基点付き位相空間の圏の smash product は, 一般には associativity をみたさないが, Grandis [Gra] は, それを colax monoidal structure として考えることを提案している。

References

[Bat08]

M. A. Batanin. “The Eckmann-Hilton argument and higher operads”. In: Adv. Math. 217.1 (2008), pp. 334–385. arXiv: math/0207281. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.06.014.

[BLM]

Thomas Basile, Damien Lejay, and Kevin Morand. Categories enriched over oplax monoidal categories. arXiv: 2204.01032.

[BW11]

Michael Batanin and Mark Weber. “Algebras of higher operads as enriched categories”. In: Appl. Categ. Structures 19.1 (2011), pp. 93–135. arXiv: 0803.3594. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9179-7.

[DS03]

Brian Day and Ross Street. “Lax monoids, pseudo-operads, and convolution”. In: Diagrammatic morphisms and applications (San Francisco, CA, 2000). Vol. 318. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, pp. 75–96. url: https://doi.org/10.1090/conm/318/05545.

[Gra]

Marco Grandis. A note on the smash product and regular associativity. arXiv: 2402.12316.

[Lei04]

Tom Leinster. Higher operads, higher categories. Vol. 298. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 2004, pp. xiv+433. isbn: 0-521-53215-9. arXiv: math/0305049. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511525896.