Complex Reflection Groups

Complex reflection group についての survey として, Geck と Malle の [GM06] がある。Broué の本 [Bro10] もある。

Complex reflection group の分類は, Shephard とTodd が [ST54] で行った。 A.M. Cohen [Coh76; Coh78] による別証もある。

Coxeter 群に類似の presentation は Broué, Malle, Rouquier [BMR98] により得られている。 それにより, Hecke algebra などが定義できる。

Real reflection group に対しては, その reflecting hyperplane は simplicial arrangement になるので, hyperplane 達が単位球面を切ってできる cell complex は simplicial complex になる。 これを Coxeter complex と呼ぶが, その complex 版が Orlik [Orl90] により導入されている。Milnor fiber complex と呼ばれている。Alexander Miller の [Mil18] の section 2 を見るとよい, と思う。

• Milnor fiber complex

Shephard と Todd によると, ベクトル空間 \(V\) における complex reflection group は, そのsymmetric algebra \(S(V)\) への作用で特徴付けられる。いわゆる Shephard-Todd-Chevalley theorem である。

• Shephard-Todd-Chevalley theorem (Sphephard-Todd [ST54], Chevalley [Che55])

集合 \(\{1,\ldots ,n\}\) を円周上に順に等間隔で並べたものの partition で, 凸包が互いに交わらないものを noncrossing partition という。 そのような純粋に 組み合せ論的なデータは, reflection group と関係ないように思えるが, これも \(A_{n-1}\) 型の arrangement に関係したデータと考えることができ, そして complex reflection group に一般化することができる。Armstrong の thesis [Arm09] をみるとよい。

• noncrossing partition

References

[Arm09]

Drew Armstrong. “Generalized noncrossing partitions and combinatorics of Coxeter groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 202.949 (2009), pp. x+159. arXiv: math/0611106. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0065-9266-09-00565-1.

[BMR98]

Michel Broué, Gunter Malle, and Raphaël Rouquier. “Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 500 (1998), pp. 127–190.

[Bro10]

Michel Broué. Introduction to complex reflection groups and their braid groups. Vol. 1988. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2010, pp. xii+138. isbn: 978-3-642-11174-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-11175-4.

[Che55]

Claude Chevalley. “Invariants of finite groups generated by reflections”. In: Amer. J. Math. 77 (1955), pp. 778–782.

[Coh76]

Arjeh M. Cohen. “Finite complex reflection groups”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 9.3 (1976), pp. 379–436.

[Coh78]

Arjeh M. Cohen. “Erratum: “Finite complex reflection groups” [Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 9 (1976), no. 3, 379–436; MR 54 #10437]”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 11.4 (1978), p. 613. url: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1978_4_11_4_613_0.

[GM06]

Meinolf Geck and Gunter Malle. “Reflection groups”. In: Handbook of algebra. Vol. 4. Vol. 4. Handb. Algebr. Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2006, pp. 337–383. arXiv: math/0311012. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1570-7954(06)80009-4.

[Mil18]

Alexander R. Miller. “Walls in Milnor fiber complexes”. In: Doc. Math. 23 (2018), pp. 1247–1261. arXiv: 1710.03069.

[Orl90]

Peter Orlik. “Milnor fiber complexes for Shephard groups”. In: Adv. Math. 83.2 (1990), pp. 135–154. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(90)90076-Y.

[ST54]

G. C. Shephard and J. A. Todd. “Finite unitary reflection groups”. In: Canadian J. Math. 6 (1954), pp. 274–304.