Symmetric Spectra

Symmetric spectrum は, Hovey と Shipley と Jeff Smith により [HSS00] で導入された現代的な spectrum の一種である。 Elmendorf-Kriz-Mandell-May (EKMM) のspectrum と並んで, 安定ホモトピー圏の基礎となる monoidal model category の構成に用いられる。

利点は, 何といっても, EKMM の spectrum よりずっと定義が簡単なことである。 Schwede の [Sch08] によると, symmetric spectrum の唯一の欠点は, homotopy category の構成にある。 単純にホモトピー群の同型を誘導する写像の inverse を付け加えるだけでは駄目なのである。

解説としては, Schwedeが書いている本の草稿 [Sch] を読むのがよいと思う。他には, Mitchner が 自身のホームページで公開している, 簡潔な symmetric spectrum の解説もある。

Hovey, Shipley, Smith の symmetric spectrum は, simplicial set に基づいたものであるが, 位相空間を用いたものとして, Mandell, May, Schwede, Shipley のもの [Man+01] がある。

Mitchener は, [Mit] で \(C^*\)-category の \(KK\)-theory として symmetric spectrum を構成している。

また, symmetric spectrum の自然な例としては, Waldhausen の \(S\)-construction を用いた algebraic \(K\)-theory spectrum が 代表的である。 このことは, Geisser と Hesselholt [GH99] の §6 に書いてある。 Bohmann と Osorno [BO] は, Zakharevich の [Zak18] も挙げている。

Symmetric spectrum は, Tabuada が DG category の “topological version” として spectrum の圏で enrich された small category を考えたとき [Tab09] にも使われている。

References

[BO]

Anna Marie Bohmann and Angélica Osorno. A multiplicative comparison of Waldhausen and Segal \(K\)-theory. arXiv: 1812.04036.

[GH99]

Thomas Geisser and Lars Hesselholt. “Topological cyclic homology of schemes”. In: Algebraic \(K\)-theory (Seattle, WA, 1997). Vol. 67. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, pp. 41–87. url: https://doi.org/10.1090/pspum/067/1743237.

[HSS00]

Mark Hovey, Brooke Shipley, and Jeff Smith. “Symmetric spectra”. In: J. Amer. Math. Soc. 13.1 (2000), pp. 149–208. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-99-00320-3.

[Man+01]

M. A. Mandell, J. P. May, S. Schwede, and B. Shipley. “Model categories of diagram spectra”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 82.2 (2001), pp. 441–512. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611501012692.

[Mit]

Paul D. Mitchener. \(KK\)-theory spectra for \(C^\ast \)-categories and discrete groupoid \(C^\ast \)-algebras. arXiv: 0711.2152.

[Sch]

Stefan Schwede. Symmetric spectra. url: http://www.math.uni-bonn.de/people/schwede/SymSpec-v3.pdf.

[Sch08]

Stefan Schwede. “On the homotopy groups of symmetric spectra”. In: Geom. Topol. 12.3 (2008), pp. 1313–1344. arXiv: math/0608059. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.1313.

[Tab09]

Gonçalo Tabuada. “Homotopy theory of spectral categories”. In: Adv. Math. 221.4 (2009), pp. 1122–1143. arXiv: 0801.4524. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.01.014.

[Zak18]

Inna Zakharevich. “The category of Waldhausen categories is a closed multicategory”. In: New directions in homotopy theory. Vol. 707. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, pp. 175–194. arXiv: 1410.4834. url: https://doi.org/10.1090/conm/707/14259.