Symmetric spectrum は, Hovey と Shipley と Jeff Smith により [HSS00] で導入された現代的な
spectrum の一種である。 Elmendorf-Kriz-Mandell-May (EKMM) のspectrum と並んで,
安定ホモトピー圏の基礎となる monoidal model category の構成に用いられる。
利点は, 何といっても, EKMM の spectrum よりずっと定義が簡単なことである。 Schwede の [Sch08] によると,
symmetric spectrum の唯一の欠点は, homotopy category の構成にある。 単純にホモトピー群の同型を誘導する写像の
inverse を付け加えるだけでは駄目なのである。
解説としては, Schwedeが書いている本の草稿 [Sch] を読むのがよいと思う。他には, Mitchner が 自身のホームページで公開している,
簡潔な symmetric spectrum の解説もある。
Hovey, Shipley, Smith の symmetric spectrum は, simplicial set に基づいたものであるが,
位相空間を用いたものとして, Mandell, May, Schwede, Shipley のもの [Man+01] がある。
Mitchener は, [Mit] で \(C^*\)-category の \(KK\)-theory として symmetric spectrum を構成している。
また, symmetric spectrum の自然な例としては, Waldhausen の \(S\)-construction を用いた algebraic
\(K\)-theory spectrum が 代表的である。 このことは, Geisser と Hesselholt [GH99] の §6 に書いてある。
Bohmann と Osorno [BO] は, Zakharevich の [Zak18] も挙げている。
Symmetric spectrum は, Tabuada が DG category の “topological version” として
spectrum の圏で enrich された small category を考えたとき [Tab09] にも使われている。
References
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[BO]
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Anna Marie Bohmann and Angélica Osorno. A multiplicative
comparison of Waldhausen and Segal \(K\)-theory. arXiv: 1812.04036.
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[GH99]
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of schemes”. In: Algebraic \(K\)-theory (Seattle, WA, 1997). Vol. 67.
Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999,
pp. 41–87. url: https://doi.org/10.1090/pspum/067/1743237.
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[HSS00]
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http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-99-00320-3.
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[Man+01]
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M. A. Mandell,
J. P. May, S. Schwede, and B. Shipley. “Model categories of diagram
spectra”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 82.2 (2001), pp. 441–512.
url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611501012692.
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[Mit]
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Paul D. Mitchener. \(KK\)-theory spectra for \(C^\ast \)-categories and discrete
groupoid \(C^\ast \)-algebras. arXiv: 0711.2152.
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[Sch]
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Stefan Schwede. Symmetric spectra. url: http://www.math.uni-bonn.de/people/schwede/SymSpec-v3.pdf.
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[Sch08]
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Stefan Schwede. “On the homotopy groups of symmetric spectra”.
In: Geom. Topol. 12.3 (2008), pp. 1313–1344. arXiv: math/0608059.
url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.1313.
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[Tab09]
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Gonçalo Tabuada. “Homotopy theory of spectral categories”. In:
Adv. Math. 221.4 (2009), pp. 1122–1143. arXiv: 0801.4524. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.01.014.
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[Zak18]
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Inna Zakharevich. “The category of Waldhausen categories is a
closed multicategory”. In: New
directions in homotopy theory. Vol. 707. Contemp. Math. Amer.
Math. Soc., Providence, RI, 2018, pp. 175–194. arXiv: 1410.4834.
url: https://doi.org/10.1090/conm/707/14259.
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