Simplicial Category

Simplicial category とは, simplicial set の圏により enrichされた圏のことである。

Simplicial category は, モデル圏の文献 (例えば [Hov99; Hir03]) によく登場する。その理由は, Dwyer と Kan による, simplicial category を用いたモデル圏の homotopy category の 構成 [DK80b] にある。そしてその基礎となっているのが, 一般の category の simplicial localization [DK80c; DK80a] である。

  • category の simplicial localization
  • model category の simplicial homotopy category

Object の集合を決めたときの simplicial category の category の model structure については, Dwyer と Kan が定義している。

Object の集合を定めない simplicial category の category の model structure については, Bergner の [Ber07] がある。

Simplicial category に対しては, nerve construction の拡張として simplicial nerve construction がある。また homotopy coherent nerve construction という構成もある。Hinich の [Hin] によると, homotopy coherent nerve construction は Cordier [Cor82] によるらしい。

  • simplicial nerve
  • homotopy coherent nerve

Simplicial category が便利なのは, このように既存の category theory での概念の “homotopy化”ができることである。例えば, locally presentable category のhomotopy化を Rosicky [Ros07] が考えている。

  • homotopy locally presentable simplicial category

Simplicial category の category と model category として同値なものとして以下のようなものの category がある:

つまり, simplicial category の成す model category は, homotopy theory of homotopy theories として使えるということである。

Stable quasicategory を enhanced triangulated category として用いることができることから, “stable simplcial category” という概念が定義でき, enhance triangulated category として用いることができるはずである。実際, それは Toën と Vezzosi の [TV04] の “Final Comments” に書かれている。

  • stable simplicial category

Bubenik [Bub12] や Raussen [Rau10] は, 並列処理の理論に使うことを考えている。



Julia E. Bergner. “A model category structure on the category of simplicial categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.5 (2007), pp. 2043–2058. arXiv: math/0406507. url:


Peter Bubenik. “Simplicial models for concurrency”. In: Proceedings of the Workshop on Geometric and Topological Methods in Computer Science (GETCO). Vol. 283. Electron. Notes Theor. Comput. Sci. Elsevier Sci. B. V., Amsterdam, 2012, pp. 3–12. arXiv: 1011.6599. url:


Jean-Marc Cordier. “Sur la notion de diagramme homotopiquement cohérent”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 23.1 (1982). Third Colloquium on Categories, Part VI (Amiens, 1980), pp. 93–112.


W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Calculating simplicial localizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 18.1 (1980), pp. 17–35. url:


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Martin Raussen. “Simplicial models of trace spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.3 (2010), pp. 1683–1714. url:


J. Rosický. “On homotopy varieties”. In: Adv. Math. 214.2 (2007), pp. 525–550. arXiv: math/0509655. url:


Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “A remark on \(K\)-theory and \(S\)-categories”. In: Topology 43.4 (2004), pp. 765–791. arXiv: math/0210125. url: